Histogramme

En statistiques, un histogramme est un graphe servant à représenter la répartition d'une variable.

Un outil de gestion de la qualité

L'histogramme est un moyen rapide pour représenter la distribution d'un paramètre obtenu lors d'une fabrication.

Exemples :

diamètre d'un arbre après usinage,
dureté d'une série de pièces après un traitement thermique,
concentration d'un élément dans la composition d'alliages produit par une fonderie,
masse de préparation alimentaire dans une boîte de conserve,
répartition de la luminosité des pixels dans une photographie.

L'histogramme est un outil «visuel» qui sert à détecter certaines anomalies ou de faire un diagnostic avant d'engager une démarche d'amélioration. Utilisé dans ce cadre, l'histogramme est un outil «qualitatif». Pour pouvoir bien mener l'étude de la dispersion d'un paramètre avec un ou de plusieurs histogrammes, il faut avoir une bonne connaissance du paramètre étudié. De même, il faut connaître les conditions de collecte des données : fréquence de mesure, outil de mesure utilisé, possibilité de mélange de lots, possibilité de tri etc.

Construction

Collecte des données

La première phase est la collecte des données en cours de fabrication. Cette collecte peut être réalisée soit de façon exceptionnelle à l'occasion de l'étude du paramètre soit en utilisant un relevé automatique ou manuel fait lors d'un contrôle réalisé dans le cadre de la surveillance du procédé de fabrication.

Sans qu'il soit réellement envisageable de donner un nombre minimum, il faut que le nombre de valeurs relevées soit suffisant. Plus on dispose d'un nombre élevé de valeurs, plus l'interprétation sera aisée.

Nombre de classes

La première opération est de déterminer le nombre de classes de l'histogramme. Le plus souvent, dans le cadre d'une analyse de ce type, on utilise des classes de largeur semblable.

Le nombre de classes dépend du nombre de valeurs N dont on dispose.

Le nombre de classes K peut être déterminé par la formule suivante :

$K= 1 + \frac{10 \log(N)}{3}$

ou plus simplement

$K = \sqrt{N}\,$

Cependant, l'histogramme étant un outil visuel, il est envisageable de faire fluctuer le nombre de classes. Ceci sert à voir l'histogramme avec un nombre différent de classes et ainsi de trouver le meilleur compromis qui favorisera l'interprétation. L'utilisation d'un logiciel dédié ou plus simplement d'un tableur favorise cette opération.

Intervalles de classe

L'amplitude w de l'histogramme est

$w = \hbox{valeur maximale} - \hbox{valeur minimale}\,$

L'amplitude h théorique de chaque classe est alors :

$h = \frac{w}{K}$

Il faut arrondir cette valeur à un multiple de résolution de l'instrument de mesure (arrondi à l'excès).

Exemple : Soit la masse d'une préparation culinaire avant conditionnement. Le calcul d'amplitude de classe donne h_th = 0, 014 kg. La résolution de la balance utilisée est de 0, 001 kg. On arrondit la valeur h à 0, 015 kg.

Les classes peuvent être du type [limite _inférieure ; limite _supérieure[ ou ] limite _inférieure ; limite _supérieure].

La valeur minimale de la première classe est donnée par la valeur minimale de la série moins une demi-résolution.

Exemple : la valeur la plus petite relevée lors de la fabrication de la préparation culinaire est de 0, 498 g. La limite inférieur sera : 0, 498 – (0, 001 / 2) = 0, 4975 kg.

Pour plus de facilité, il est préférable de prendre une valeurs «ronde» par exemple 0, 495 kg

Exemple

Soit la fabrication de rations alimentaires, la pesée des rations avant emballage donne la série de mesures suivantes en kg :

0, 547	0, 563	0, 532	0, 521	0, 514	0, 547	0, 578	0, 532	0, 552	0, 526	0, 534	0, 560	0, 502	0, 503	0, 516	0, 565
0, 532	0, 574	0, 521	0, 523	0, 542	0, 539	0, 543	0, 548	0, 565	0, 569	0, 574	0, 596	0, 547	0, 578	0, 532	0, 552
0, 554	0, 596	0, 529	0, 555	0, 559	0, 503	0, 499	0, 526	0, 551	0, 589	0, 588	0, 568	0, 564	0, 568	0, 556	0, 523
0, 526	0, 579	0, 551	0, 584	0, 551	0, 512	0, 536	0, 567	0, 512	0, 553	0, 534	0, 559	0, 498	0, 567	0, 589	0, 579

Les caractéristiques du relevé sont les suivantes :

Le nombre d'échantillons : N=64
L'étendue : w=0, 098 kg
Valeur minimale : 0, 498 kg
Valeur maximale : 0, 596 kg

On en déduit les paramètres suivants pour l'histogramme :

Le nombre de classes est de 7 (en utilisant la formule avec le logarithme)
L'amplitude de classe est 0, 098/7 = 0, 014 kg qu'on arrondit à 0, 015 kg (résolution de la balance : 0, 001 kg)
La valeur minimale de la première classe est de 0, 498 – (0, 001/2) = 0, 4975. Par souci de facilité pour l'interprétation, on peut arrondir cette valeur à 0, 495 kg.

On obtient l'histogramme suivant :

Interprétation

Comparaison d'un histogramme avec la courbe d'une loi normale.

La distribution largement de paramètres industriels correspond fréquemment à une loi normale. On compare fréquemment l'histogramme obtenu au profil «en cloche» de la loi normale. Cette comparaison est visuelle et même si elle peut être une première approche, elle ne forme pas un test de «normalité». Pour cela, il faut exécuter un test dont un des plus classiques est la droite de Henry.

La distribution suivant la loi normale, si elle est extrêmement fréquente, n'est pas systématique. On vérifiera que la distribution ne correspond pas à une distribution de défaut de forme (exemple : mesure de l'excentration dans un tube, position d'objets lancés dans la direction d'un mur dont certains rebondissent sur ce mur).

L'interprétation peut, par exemple, donner les résultats suivants :

Histogramme montrant un mélange de deux lots.	Histogramme montrant un mélange de deux lots mais avec une moyenne proche. On veillera dans ce cas à faire aussi fluctuer le nombre de classes pour vérifier qu'il ne s'agit pas d'un problème de construction.	Histogramme montrant que le lot a subi un tri. L'ensemble des éléments pour lesquels la valeur du paramètre mesuré était inférieure à A ont été supprimés.

Dans le cas d'histogramme montrant un mélange de deux lots ayant une moyenne différente, il existe des cas où la dispersion présente cet aspect sans pour tout autant incriminer un mélange. C'est par exemple le cas de la mesure d'une pièce cylindrique mais qui présente un défaut de type ovalisation. Les deux moyennes représentent alors le grand diamètre et le petit diamètre. C'est la connaissance du procédé et/ou du produit qui sert à réaliser ce type d'interprétation.

Un outil pour estimer une densité

Dans cette section, on utilise l'histogramme non pas comme un outil de visualisation, mais comme une estimation statistique de la distribution sous-jacente de l'échantillon. On dispose d'un échantillon $x_1, x_2, \cdots, x_n$ indépendamment et semblablement distribué selon une loi. On souhaite déduire de l'échantillon une estimation de la densité inconnue, notée f.

Le cas discret

On recherche les probabilités $p i$ qui caractérisent la distribution. On note cette distribution f par abus. Un estimateur naturel est :

$\widehat{f}(x) = \frac{n(x)}{n}$

où $n (x)$ est le nombre d'observations de l'échantillon qui sont identiques à x. Une manière alternative de noter cet estimateur est :

$\widehat{f}(x) = \frac{1}{n} \sum_iˆn I(x_i=x)$

où $I(\cdot)$ est la fonction indicatrice : elle vaut 1 quand son argument est vrai.

Le cas continu

L'estimateur précédent n'est plus valable, car dans le cas continu, on ne peut plus compter le nombre d'observations précisément identiques à x. Par contre, on considère généralement une boîte centrée en x, et de largeur h, paramètre positif. On peut compter le nombre d'observations approximativement (et non plus précisément) identiques à x, en comptant les observations tombant dans ladite boîte. L'estimateur^[1] devient :

$\widehat{f}(x)=\frac{1}{nh} I\left(-\frac{1}{2} \le \frac{x_i-x}{h} \le \frac{1}{2}\right)$

où toujours, en posant $y i = (x i - x) / h$ :

$\widehat{f}(x)=\frac{1}{nh} I\left(|y_i| \le \frac{1}{2}\right)$ .

Le paramètre h contrôle le niveau de lissage de l'estimation et doit être recherché avec soin. L'estimateur précédent présente de bonnes propriétés identiques à celles d'une densité continue :

il est positif ;
il s'intègre à l'unité.

Cependant, il présente un gros défaut pour pouvoir estimer une densité : il n'est pas continu. Pour gagner la continuité, on utilisera l'estimateur de Parzen (ou à noyau) . Le principe est simple : il suffit de remplacer la fonction indicatrice par une fonction réelle, qui attribue un poids d'autant plus important que les observations sont localisées à proximité de x.

Origine

William Playfair (Commercial and political atlas, 1786) est le premier promoteur de l'exploitation des observations statistiques par des courbes de distribution et des diagrammes en bâtons. Le mot histogramme a été proposé par Pearson en 1895.

Notes et références

Fix, E., Hodges Jr., J., 1951. Discriminatory analysis : non-parametric discrimination : Consistency properties. Report No. 4, USAF School of Aviation Medicine, Randolph Field, TX.

Voir aussi

Bibliographie

Maurice Lethielleux, Statistique descriptive, éditions Dunod, Paris, 1999 (ISBN 2 10 003513 4) , 124 pages.
Maurice Pillet, Appliquer la maîtrise statistique des procédés MSP/SPC, Les Éditions d'Organisation, 1995 (ISBN 2-7081-1774-2) , 336 pages.
Pierre Souvay, Statistique et qualité, AFNOR, Paris, collection «A savoir», 1994, 40 pages.
Pierre Souvay, Savoir utiliser la statistique, outil à la décision ainsi qu'à le perfectionnement de la qualité, AFNOR, Saint-Denis-la-Plaine, 2002 (ISBN 2-12-475821-7) , 434 pages

Liens externes

A Method for Selecting the Bin Size of a Histogram

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